ESTADISTICAS: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

1. Media aritmética o media:

Esta es la medida de tendencia central que tiene en mente una persona común y corriente cuando se habla de “promedio”. El cálculo de la media se halla sumando los valores de los datos tomados y dividiendo el total entre el tamaño de la muestra.

Para datos no agrupados, podemos considerar una población con una muestra cuyo cardinal sea y en la que se va a estudiar una característica , para la cual se pueden tomar en forma aleatoria los datos y su media correspondería a la sumatoria:

Ejemplo: Cuál es la definitiva de un estudiante en el cuarto periodo si las notas durante este tiempo fueron:

Para datos agrupados, esto es cuando se consideran distribuciones de frecuencias en clases la media aritmética o media se calcula por:

. Yi es la marca de clase.

Ejemplo: Se indagó por la edad de 102 personas que pasaron por una calle y estos fueron los resultados:

Algunas propiedades de la media aritmética:

a. La media es la única medida de tendencia central en que puede intervenir operaciones algebraicas.

b. En toda distribución, la suma de las desviaciones de sus variables con respecto a la media es cero. Esto es , siendo . Realice la demostración.

c. La suma de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media es siempre menor que la suma de los cuadrados de las desviaciones con respecto a otro valor constante. Esta propiedad indica que la media es la medida de tendencia central que hace mínima la suma de los cuadrados de las desviaciones en torno a ella. Este criterio es muy importante porque da origen al llamado método de los mínimos cuadrados para la búsqueda de la media y el ajuste de curvas que es tema de un nuevo submódulo.

d. La media aritmética de una constante es igual a la constante. Realizar la demostración.

e. La media del producto de una constante por una variable, es igual al producto de la constante por la media de la variable. Realizar la demostración.

f. La media aritmética de una variable más o menos una constante, es igual es igual a la media de la variable más o menos la constante. Efectúe la demostración.

g. La media aritmética de una muestra dividida en submuestras, es igual a la media ponderada de las submuestras, tomando como ponderación los tamaños de las mismas. Explicar algebraicamente.

h. La media aritmética de la suma de dos variables homogéneas, es igual a la suma de las medias de dichas variable.

2. Mediana

Para datos no agrupados la mediana se entiende como el valor que divide una distribución de datos ordenados en dos mitades, para esto tenemos dos posibilidades de procedimiento de acuerdo a la muestra.

Con los datos agrupados, la mediana se calcula a partir de los siguientes pasos:

a. Se mira la columna de las frecuencias acumuladas hasta encontrar el primer intervalo para el cual la frecuencia acumulada es mayor o igual que la mitad del tamaño de la muestra: N/2 .

b. Si es la frecuencia acumulada de este intervalo, es la anterior frecuencia acumulada a , es la longitud del intervalo y límite inferior de este intervalo,reemplazamos los valores en la siguiente fórmula

Ejemplo: Retomando el ejemplo de las edades para una muestra de 102 personas, entonces los aplicamos

3. Moda: M

En lenguaje cotidiano se denomina moda a lo que tiene mayor uso o lo que se presenta con mayor frecuencia; de la misma manera en estadística, se denomina moda al dato o marca de clase de mayor frecuencia. En muchas distribuciones estadísticas dos o más intervalos tienen la misma frecuencia máxima se dice que la distribución es bimodal o multimodal.

Cuando los datos no son agrupados basta con buscar el mayor valor absoluto de la muestra.

Ej 1:Dado el conjunto de números 1, 3,6,10,10, 15,15, 16,16,16,22,29,29,37,47,58.La mayor frecuencia absoluta es , por tanto la moda es 16.

Ej 2: El conjunto de números: 1,2,4,7,11,16,22,29 no tiene moda, porque todos los números aparecen el mismo número de veces.

Ej 3:Dado el conjunto de números 3, 4, 4, 6, 6, 7, 8, 9, 10. Tiene como mayor frecuencia absoluta , para dos datos 4 y 6. Por tanto la moda corresponde a estos y se llama bimodal.

Para datos agrupados, la moda se ubica en un intervalo llamado clase modal al cual corresponde la mayor frecuencia absoluta, Teniendo en cuenta que es límite menor de la clase modal, , esto es la diferencia entre las frecuencias de la clase modal y la clase anterior, es decir, la diferencia de las frecuencias de la clase modal y la clase siguiente y c la amplitud del intervalo de clase, la moda se calcula aplicando la siguiente fórmula: